[Linear Alergbra Cheat sheet] Trace

一個n*n的矩陣A的Trace，是指A的主對角線
（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，一般記作 tr(A)。

Example

相關性質

－> 1. Linear operator
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－> 2. Product of trace
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－> 3. 相似不變性

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對於任兩個n*n的矩陣A、B和純量 r，都有：

1. Linear operator

而且，由於一個矩陣A的轉置矩陣(A^T)的主對角線元素和原來矩陣的主對角線元素是一樣的，所以任意一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡。

2. Product of trace

設A是一個 n*m的矩陣，B是個m*n的矩陣，則有：

其證明可用矩陣乘法的定義證出來 :

將上述定理推廣到A、B、C矩陣相乘的trace :

但是要注意

若A、B、C 為對稱矩陣的話，則任意置換乘積順序結果都相等 :

只有在A,B,C皆為對稱時成立

3. 相似不變性

如果矩陣A和B 相似的話，它們會有相同的trace。

其證明透過，相似的定義便可證出 :

4. Trace和特徵多項式

5. Trace和Eigenvalue